菱形ABCD边长为6，M对角线AC的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值?

菱形ABCD边长为6，M对角线AC的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值？

羽逸之光

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叶落孤城解决一切问题。总要等到过了很久，总要等退无可退，才知道我们曾亲手舍弃的东西，在后来的日子里，再也遇不到了。

见下图。

∵ ∠ABC = 120°，∴ BO = 3，AO = 3√3；

设 MO = x，则 AM + MB + MD = 3√3 - x + 2√( 9 + x^2 )

由均值不等式，( 3√3 - x ) + √( 9 + x^2 ) + √( 9 + x^2 ) ≥ 3[ ( 3√3 - x )( 9 + x^2 ) ]^(1/3)

= 3[ -( x - √3 )^3 + 24√3 ]^(1/3)

当不等式左边3项相等时，等号成立；

3√3 - x = √( 9 + x^2 )，x = √3；

而 x = √3 时，不等式右边为定值；

故当 x √3 时，不等式左边的和有最小值；

AM + MB + MD = 3√3 - √3 + 2√( 9 + 3 ) = 6√3 。

如果学过用导数求极值，可直接对 3√3 - x + 2√( 9 + x^2 ) 求导，比用均值不等式简单。

∵ ABCD是菱形，∴ AB=AD=6，∠DAB+∠ABC=180°。

∵ ∠ABC=120°，∴ ∠DAB=60°。∴ ABC是等边三角形。

设P是AC与BD的交点。∴ AP⊥BD，BP=DP=3，AP=3√3。

设x=PM，y=AM+BM+DM。

∴ AM=AP-PM=3√3-x，BM=DM=√(DP²+PM²)=√(9+x²)。

∴ y=3√3-x+2√(9+x²)，4(9+x²)=(x+y-3√3)²。

4x²+36=x²+2(y-3√3)x+(y²-6√3*y+27)，

3x²-2(y-3√3)x-(y²-6√3*y-9)=0关于x的方程有实数根，∴∆≥0。

∆=2²(y-3√3)²+4*3(y²-6√3*y-9)=16y(y-6√3)≥0，∴y≤0或者y≥6√3。

∵y>0，∴y≤6√3。